La loi des grands nombres et espérance de gain à travers les jeux de grattage


Les jeux de grattage et les jeux de hasard en général font rêver la plupart des Français. En effet, qui n’a jamais rêvé de remporter une somme d’argent et tout cela juste en grattant un vulgaire bout de carton.

Aujourd’hui nous allons nous demander, grâce à la théorie des grands nombres et l’espérance de gain, est-ce que les jeux de hasard, les jeux de grattage en l’occurrence, défavorisent réellement les joueurs  ?

Pour cela, nous allons commencer par définir qu’est-ce qu’un joueur, la plupart des joueurs de jeux de hasard se reconnaîtront en lisant cet article, mais avant même de commencer à parler mathématiques et probabilités, nous allons définir qu’est-ce qu’un joueur et quel est son profil type.

Jeux de grattage : Portrait Robot du joueur en 2020

Les jeux de hasard sont très populaires en France, on en dénombre différentes sortes comme les paris sportifs, les paris hippiques, le poker, les jeux de casino, les jeux de tirage, ou encore, les jeux de grattage.

Bien évidemment, les plus populaires sont ceux de la Française des jeux. Actuellement, les jeux de hasard les plus joués et les plus vendus en France sont les jeux instantanés.

Si vous êtes un aficionado de ces jeux, vous avez déjà compris de quels jeux il s’agit; les jeux de grattage. Nous les appelons jeux instantanés, car le gain que vous pouvez remporter s’affiche immédiatement à l’écran si vous jouez sur Internet, ou directement sur la petite fiche cartonnée que vous achetez et grattez chez votre détaillant. Il ne vous reste plus qu’à récupérer votre gain… Ou pas. C’est ce qu’on va voir juste après.

En France, comme nous le disions, ce sont les jeux de grattage (les jeux instantanés) qui arrivent en tête des ventes.
47 % des jeux de hasard joués en France en 2020 ont été les jeux de grattage.

En s’intéressant un peu plus au panel, on se rend compte par ailleurs qu’il y a une répartition égale entre les sexes des joueurs.

En effet, 49,7 % des gratteurs sont des hommes, et très logiquement 50,3 % des autres joueurs sont des femmes.

Concernant la tranche d’âge des joueurs et des joueuses, on se rend compte que la représentation des âges est très égalitaire. Comme vous pouvez le voir sur le graphique ci-joint, les joueurs se répartissent équitablement entre les différentes tranches d’âge. Plus surprenant encore, les 18-34 ans sont très bien représentés dans cette catégorie de jeux.

Graphique---tranche-d'age-des-joueurs-jeu-de-grattage-fdj
Une répartition égalitaire qu’on ne retrouve qu’au sein des jeux instantanés ou de la loterie.

Cela n’a rien d’étonnant, car depuis 2015, la Française des jeux a amélioré sa campagne de jeux en ligne. La numérisation de la plupart de ses jeux et la modernisation de son site Internet, la création d’une application de jeu, et les différentes communications visant les moins de 40 ans, ont permis à la Française des jeux de lisser la tranche d’âge de leurs joueurs.

Maintenant que l’on a vu et qu’on a pu faire le portrait robot des joueurs des jeux de grattage.

Nous pouvons nous demander si les jeux de hasard, donc les jeux de grattage en ce qui nous concerne, favorisent réellement les joueurs ?

Pour cela, nous allons nous pencher sur la loi des grands nombres et, en calculant l’espérance de gain, nous allons voir s’il est intéressant de jouer aux jeux de grattage.

La loi des grands nombres  ? Késako ?

Loin de nous la prétention de faire un cours de mathématique, notamment de probabilités. Néanmoins, une petite explication s’impose afin de comprendre pourquoi nous utilisons la loi des grands nombres afin de calculer l’intérêt d’un jeu de hasard. Il faut savoir que cette loi sera vulgarisée afin de lui donner une définition simple dans le but de pouvoir appréhender le calcul qui suivra. 

La loi des grands nombres a été énoncée par Jacques Bernoulli, mathématicien Suisse du 17 éme siècle. Selon sa théorie, si la probabilité théorique d’un événement est connue, alors plus le nombre d’observations augmente, plus la fréquence de cet événement se rapproche.

Plus simplement, si on connaît les variables qu’un événement se produit, on peut calculer sa fréquence d’apparition. Simple non ? Pas assez ?

Prenez une pièce. Si vous la jetez en l’air 5 fois, et qu’elle retombe 5 fois sur pile. Est-ce que cela voudra dire qu’il n’y a pas de côté face ? Non. Cela ne prouvera rien. 
Par contre, si vous refaites l’expérience 10 000 fois, et qu’elle retombe 10 000 fois sur pile… alors la pièce est peut-être truquée.

L’observation successive est prévisible.

Cela nous sert très clairement à obtenir un autre résultat ; l’espérance. Le calcul de la loi des grands nombres débouche sur une probabilité, et se rapproche de l’espérance mathématique. 
Dans notre cas, et ce sera plus clair, c’est l’espérance de gain. 

En effet, si vous jouez un très grand nombre de fois à un jeu de grattage, votre gain à chaque partie pourra être approximé par l’espérance du jeu. 

Alors comment calcule-t-on l’espérance de gain de notre jeu de grattage ? La formule est très simple : 

Pour illustrer notre propos et vérifier si les jeux de grattage sont intéressants, notamment pour s’enrichir, nous allons utiliser le ticket à gratter le plus vendu de France, le jeu CASH.

Espérance de gain du jeu CASH

Notre cobaye a une lourde responsabilité. Illustrer la loi des grands nombres en nous donnant l’espérance de gain que l’on peut attendre en achetant des tickets de jeu CASH.

Alors est ce que ce jeu à gratter nous permet de gagner de l’argent sur le long terme ? Bien que vous ayez une petite idée (logique) sur la question. Voyons quelle réponse nous apporte la loi des grands nombres à cette question.

Tout d’abord, commençons par transformer le nombre de gains que l’on peut remporter, en probabilités.

 Nombre de tickets Cash GagnantsProbabilité
 30.000000166
 30.000000166
 50.000000277
 100.000000555
3 0000.000166666
135 3400.007518888
135 3400.007518888
496 5500.027586111
2 128 8000.118266666
1 796 0000.09977777
Total : 4 695 051 

Si on veut être rigoureux, il ne faut pas oublier également le nombre de tickets.. perdants. Ci-dessus, nous avons calculé la probabilité concernant les tickets gagnants, néanmoins, sur un lot de 18 000 000 de tickets CASH, 13 304 949 d’entre eux sont perdants ! 
Il faut les ajouter à notre calcul.

Nombre de tickets CASH perdantsProbabilité
13 304 9490.73916383

Désormais, nous pouvons calculer notre espérance de gain au jeu de grattage CASH grâce à la formule que nous avons vu ensemble. Bien évidemment, nous allons également indiquer les gains que nous pouvons réellement gagner. Nous supprimons donc le prix du ticket sur les gains potentiels.

GAINProbabilitéEspérance de Gain
499 995 €0.000000166 + 0.082999 €
99 995 €0.000000166 + 0.016599 €
9995 €0.000000277 + 0.005547 €
4995 €  0.000000555 + 0.002772 €
495 €  0.000166666 + 0.082499 €
95 €   0.007518888 + 0.714294 €
45 € 0.007518888 + 0.338349 €
15 €0.027586111 + 0.413791 €
5 €0.118266666 + 0.591333 €
0 € 0.09977777 + 0 €
-5 € 0.73916383 – 4.260836 €
  = – 2.0112653 €

Comme vous pouvez le voir, après avoir calculé l’espérance de gain pour chaque lot, nous avons additionné la somme de nos résultats pour finalement obtenir l’espérance de gain du jeu CASH. 

L’espérance de gain du jeu CASH est -2 €. En conclusion, plus vous jouez à ce ticket à gratter, plus vous vous rapprocherez de cette espérance de gain. 

En somme, si vous jouez 100 fois dans l’année au jeu CASH, vous aurez dépensé une somme de 500 € dans le prix des tickets. En jouant 500 € au CASH, vous avez bien réussi à gagner… 300 €. Félicitations.
Néanmoins, cela ne couvre pas le prix de l’ensemble de vos achats de 500 €, ce qui nous donne donc un déficit de 200 € sur la prise de vos jeux.

Mais alors la loi des grands nombres nous prouve qu’il ne faut plus jouer à ces jeux à gratter ?

Bien évidemment, la réponse est non !

La loi des grands nombres vous apprend que pour les jeux à gratter, la banque est toujours gagnante. La banque pour nous, c’est la Française des jeux. Cette formule nous indique que si vous jouez un très grand nombre de fois au jeu CASH, vous vous rapprocherez de l’espérance de gain que nous avons calculé. Cela vaut pour un grand nombre de prises de jeu. La formule elle-même n’est valable que sur un grand nombre de tickets. 

espérance de gain du jeu cash
Le jeu à gratter Cash a une espérance de gain de – 2 €

Le secret est très simple.. Soit vous ne jouez pas du tout, certes, vous ne gagnerez rien, mais vous économiserez 5 €.
Soit, vous aimez prendre un petit ticket à gratter de temps à autre sans espérer en attendre grand chose. Les belles histoires, et les histoires de gagnants… ça existe. Mais les histoires de joueurs qui achètent des milliers de tickets à gratter pour gagner de l’argent, ça existe aussi, et pour eux, la loi des grands nombres est implacable. Ce n’est pas la solution, et ils sont certains de se rapprocher de la banqueroute.

Il faut savoir tenter sa chance, sans exagérer… Un steak, c’est bon.. pourtant en consommer excessivement ça peut finir par boucher les artères… À bon entendeur.

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