Les jeux de grattage et les jeux de hasard en général font rêver la plupart des Français. En effet, qui n’a jamais rêvé de remporter une somme d’argent — et tout cela juste en grattant un vulgaire bout de carton.
Aujourd’hui nous allons nous demander, grâce à la théorie des grands nombres et l’espérance de gain, si les jeux de hasard — les jeux de grattage en l’occurrence — défavorisent réellement les joueurs.
Pour cela, nous allons commencer par définir ce qu’est un joueur. La plupart des joueurs de jeux de hasard se reconnaîtront en lisant cet article — mais avant même de parler mathématiques et probabilités, voyons quel est son profil type.
Jeux de grattage : portrait robot du joueur
Les jeux de hasard sont très populaires en France — on en dénombre différentes sortes : paris sportifs, paris hippiques, poker, jeux de casino, jeux de tirage, ou encore jeux de grattage.
Les plus populaires sont ceux de la Française des jeux. Actuellement, les jeux de hasard les plus joués et les plus vendus en France sont les jeux instantanés — les jeux de grattage. Nous les appelons jeux instantanés car le gain que vous pouvez remporter s’affiche immédiatement à l’écran si vous jouez sur Internet, ou directement sur la petite fiche cartonnée que vous achetez et grattez chez votre détaillant.
En France, les jeux de grattage arrivent en tête des ventes parmi les jeux de hasard. Selon les données FDJ, la répartition entre les sexes des joueurs est quasi parfaite : environ 50% d’hommes et 50% de femmes. Concernant les tranches d’âge, la représentation est également très égalitaire — les 18-34 ans y sont particulièrement bien représentés, signe que la numérisation du catalogue illiko depuis 2015 a porté ses fruits.
Une répartition par âge équilibrée — qu’on ne retrouve que dans les jeux instantanés et la loterie.
Maintenant que nous avons dressé le portrait robot des joueurs, nous pouvons nous demander : les jeux de hasard — les jeux de grattage en ce qui nous concerne — favorisent-ils réellement les joueurs ?
Pour répondre à cette question, nous allons nous pencher sur la loi des grands nombres et calculer l’espérance de gain.
La loi des grands nombres — késako ?
Loin de nous la prétention de faire un cours de mathématiques. Néanmoins, une petite explication s’impose afin de comprendre pourquoi nous utilisons la loi des grands nombres pour calculer l’intérêt d’un jeu de hasard. Cette loi sera volontairement vulgarisée afin de lui donner une définition simple.
La loi des grands nombres a été énoncée par Jacques Bernoulli, mathématicien suisse du XVIIe siècle. Selon sa théorie : si la probabilité théorique d’un événement est connue, alors plus le nombre d’observations augmente, plus la fréquence observée de cet événement s’en rapproche.
Plus simplement : si on connaît les variables d’un événement, on peut calculer sa fréquence d’apparition. Simple ? Pas assez ? Voici un exemple concret.
🪙 Prenez une pièce. Si vous la jetez en l’air 5 fois et qu’elle retombe 5 fois sur pile — cela ne prouve rien. Par contre, si vous refaites l’expérience 10 000 fois et qu’elle retombe 10 000 fois sur pile… alors la pièce est peut-être truquée.
L’observation successive est prévisible.
Ce calcul débouche sur une probabilité et se rapproche de l’espérance mathématique — ou dans notre cas, l’espérance de gain. Si vous jouez un très grand nombre de fois à un jeu de grattage, votre gain moyen par partie pourra être approximé par l’espérance du jeu.
La formule est la suivante :
Pour illustrer notre propos et vérifier si les jeux de grattage sont intéressants, nous allons utiliser le ticket à gratter le plus vendu de France : le jeu CASH.
Espérance de gain du jeu CASH
Notre cobaye a une lourde responsabilité : illustrer la loi des grands nombres en nous donnant l’espérance de gain que l’on peut attendre en achetant des tickets CASH.
Est-ce que ce jeu à gratter permet de gagner de l’argent sur le long terme ? Bien que vous ayez une petite idée sur la question, voyons quelle réponse nous apporte la loi des grands nombres.
Tout d’abord, transformons le nombre de gains que l’on peut remporter en probabilités.
| Nombre de tickets Cash gagnants | Probabilité |
|---|---|
| 3 | 0,000000166 |
| 3 | 0,000000166 |
| 5 | 0,000000277 |
| 10 | 0,000000555 |
| 3 000 | 0,000166666 |
| 135 340 | 0,007518888 |
| 135 340 | 0,007518888 |
| 496 550 | 0,027586111 |
| 2 128 800 | 0,118266666 |
| 1 796 000 | 0,099777770 |
| Total : 4 695 051 | — |
Si on veut être rigoureux, il ne faut pas oublier les tickets perdants. Sur un lot de 18 000 000 de tickets CASH, 13 304 949 sont perdants.
| Nombre de tickets CASH perdants | Probabilité |
|---|---|
| 13 304 949 | 0,73916383 |
Désormais, nous pouvons calculer l’espérance de gain au jeu CASH. Les gains indiqués sont nets — le prix du ticket (5€) est déduit.
| Gain (net) | Probabilité | Espérance de gain |
|---|---|---|
| 499 995 € | 0,000000166 | + 0,083 € |
| 99 995 € | 0,000000166 | + 0,017 € |
| 9 995 € | 0,000000277 | + 0,006 € |
| 4 995 € | 0,000000555 | + 0,003 € |
| 495 € | 0,000166666 | + 0,082 € |
| 95 € | 0,007518888 | + 0,714 € |
| 45 € | 0,007518888 | + 0,338 € |
| 15 € | 0,027586111 | + 0,414 € |
| 5 € | 0,118266666 | + 0,591 € |
| 0 € | 0,099777770 | + 0 € |
| – 5 € (ticket perdant) | 0,73916383 | – 4,261 € |
| Espérance de gain totale | = – 2,01 € | |
Données issues du règlement officiel FDJ — lot de 18 000 000 unités · Calcul jeuxdegrattage.eu
Après avoir calculé l’espérance de gain pour chaque lot, nous avons additionné les résultats pour finalement obtenir l’espérance de gain du jeu CASH.
Espérance de gain — Jeu CASH (5€)
– 2 €
Par partie, sur un très grand nombre de parties
En conclusion : plus vous jouez à ce ticket à gratter, plus vous vous rapprocherez de cette espérance de gain. Si vous jouez 100 fois dans l’année au jeu CASH, vous aurez dépensé 500€ en tickets. En jouant 500€ au CASH, vous aurez gagné… 300€. Ce qui donne un déficit de 200€ sur la totalité de vos achats.
Le jeu à gratter Cash a une espérance de gain de – 2€.
Faut-il arrêter de jouer aux jeux de grattage ?
Bien évidemment, la réponse est non.
La loi des grands nombres vous apprend que pour les jeux à gratter, la banque est toujours gagnante. La banque, pour nous, c’est la Française des jeux. Cette formule nous indique que si vous jouez un très grand nombre de fois au jeu CASH, vous vous rapprocherez de l’espérance de gain calculée. Cela vaut sur un très grand nombre de prises de jeu — la formule n’est valable que sur un très grand échantillon de tickets.
Ce que ça veut dire concrètement
Si vous achetez la totalité des 18 000 000 tickets d’un lot CASH, vous récupérerez exactement le TRJ — soit 71% de votre mise totale. Autrement dit, vous aurez dépensé 90 000 000€ pour en récupérer 63 900 000€. La loi des grands nombres est implacable.
Le secret est simple. Soit vous ne jouez pas du tout — vous ne gagnerez rien, mais vous économiserez 5€. Soit vous aimez prendre un petit ticket à gratter de temps à autre, sans en attendre grand-chose. Les belles histoires de gagnants, ça existe. Mais les histoires de joueurs qui achètent des milliers de tickets pour s’enrichir, ça existe aussi — et pour eux, la loi des grands nombres est implacable. Ce n’est pas la solution, et ils sont certains de se rapprocher de la banqueroute.
Il faut savoir tenter sa chance, sans exagérer. Un steak, c’est bon — mais en consommer excessivement, ça finit par boucher les artères. À bon entendeur.
L’avis de Yazid — fondateur jeuxdegrattage.eu depuis 2014
Cet article est l’un de mes préférés sur le site. Pas parce qu’il est mathématiquement brillant — la formule est simple — mais parce qu’il dit la vérité sans détour. L’espérance de gain négative n’est pas un secret : c’est inscrit dans le TRJ de chaque jeu, que la FDJ publie dans ses règlements officiels.
Ce que la loi des grands nombres confirme, c’est que jouer occasionnellement est un loisir — jouer compulsivement est une perte certaine. Je joue aux jeux de grattage depuis 2014. Je n’ai jamais perdu de vue que c’est un loisir, pas un investissement. Consultez notre classement TRJ pour choisir les jeux qui redistribuent le plus — mais gardez toujours à l’esprit que l’espérance reste négative, quel que soit le jeu.
📚 À lire aussi
Classement TRJ 2026 — tous les jeux illiko
Maximiser le TRJ ne supprime pas l’espérance négative — mais ça l’atténue
Comment calculer les probabilités d’un ticket illiko ?
TRJ, fréquence de gain, tableau des lots — tout comprendre
Cash illiko — la fiche complète
Probabilités, tableau des lots, espérance — le jeu de notre calcul
Les jeux à gratter FDJ sont-ils truqués ?
Non — et la loi des grands nombres l’explique mieux que n’importe qui
⚠️ Jeu responsable — Interdit aux mineurs de moins de 18 ans. Les jeux d’argent et de hasard peuvent être dangereux : pertes d’argent, conflits familiaux, addiction… Pour être aidé, appelez le 09 74 75 13 13 (appel non surtaxé) · joueurs-info-service.fr